矩阵快速幂
矩阵快速幂
矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (AA)(AA)(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。
既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。 好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)(A^8)(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端
注意这里写的是形状相同的矩阵相乘，若遇到两个形状不同的矩阵相乘，只需要改一下传参的大小即可，网上大部分都是一行一列的往下走，本文矩阵相乘是按照结果的位置来走
#include<iostream>
#define max 10
using namespace std;
//使用结构体定义矩阵 ，比较方便
struct MAT{
long long mat[max][max];
};
//两个矩阵相乘
MAT mul(MAT a,MAT b,int n){
MAT c;
// 先将矩阵初始化为0，必须初始化
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
c.mat[i][j] = 0;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int k=0;k<n;k++)
for(int j=0;j<n;j++)
if(a.mat[i][j]&&b.mat[j][k]) // 优化，有一个为0即为0
c.mat[i][k] += a.mat[i][j] * b.mat[j][k]; //对应行和列相乘，得到对应位置上的值
return c;
}
//矩阵的乘方运算，采用快速幂
MAT par(MAT p,int k,int n){
MAT res;
//结果矩阵初始化为单位矩阵，以便后边相乘
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
res.mat[i][j] = (i==j);
while(k){
if(k&1){
res = mul(res,p,n);
}
k>>=1;
p = mul(p,p,n);
}
return res;
}
//打印矩阵
void print(MAT t,int n){
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
cout << t.mat[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
int main(){
cout<<"输入矩阵的大小"<<endl;
int n;
MAT a,b;
cin>>n;
cout<<"输入矩阵1"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>a.mat[i][j];
print(a,2);
cout<<"输入矩阵2"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>b.mat[i][j];
print(b,2);
print(mul(a,b,n),n);
// print(par(a,3,n),n);
return 0;
}
